Darcyho zákon

Darcyho zákon

Darcyho zákon je matematický vztah, který definuje rychlost průtoku kapaliny nasycenou zónou pevného porézního tělesa. Jedná se o lineární závislost mezi filtrační rychlostí kapaliny v_f (resp. průtočným množstvím Q) a piezometrickým (hydraulickým) gradientem I. Odvodil ji francouzský inženýr Henry Darcy (1856), který ji vyjádřil vzorcem:

$v_{f}=k\cdot I$

resp.

$v_{f}={\frac {Q}{A}}=k\cdot I$

kde

• k – koeficient filtrace
• Q - objemový průtok filtrem délky L s průřezem A,
• I - piezometrický gradient (h₁- h₂)/L, tj. výškový rozdíl mezi úrovní hladiny h₁ nad vstupem do filtru a úrovní hladiny h₂ přiléhající k spodní výtokové ploše dělený délkou (výškou) filtru L,
• v_ef - efektivní rychlost
• v_f - filtrační rychlost

Darcyho zákon platí pro stacionární proudění, proto se připouští závislost pouze na x a nikoliv na čase. Lze jej také vyjádřit vztahem:

$Q=kA{\frac {h_{a}-h_{b}}{L}}$,

resp.:

$k={\frac {Q\cdot L}{A\cdot (h_{a}-h_{b})}}$

kde:

• Q je průtok pronikající kapaliny v m³/s
• k je koeficient filtrace nebo Darcyho koeficient. Udává se v m/s.
• A je plocha v m², kterou proudící médium protéká
• h_a je tlak v místě vtoku média do materiálu
• h_b je tlak v místě výtoku média z materiálu
• L je vzdálenost mezi místy a a b v m.

Vztah mezi efektivní a filtrační rychlostí proudění je dán úměrou:

$v_{ef}={\frac {v_{f}}{\mu }}$

kde

• μ_A - koeficient účinnosti filtračního průřezu (kinematická pórovitost), který je vždy menší jak 1

Platnost Darcyho zákona

Darcyho zákon byl odvozen pro proudění vody v nasycené zóně. Pro proudění v nenasycené zóně platí Darcy-Buckinghamův zákon.

Zákon vyjadřuje lineární závislost rychlosti proudění na rozdílu tlaků proudícího média a vzdálenosti sledovaných bodů. Četné experimenty ukazují, že tato lineární závislost platí pro velký rozsah hodnot hydraulického gradientu a pro většinu obvyklých hornin a zemin. Odchylky od platnosti Darcyho zákona jsou zjišťovány při malých gradientech hydraulické výšky ve velmi jemnozrnných materiálech a také u hrubozrnných materiálů, pokud gradient hydraulické výšky překročí jistou mezní hodnotu. V prvém případě mluvíme o prelineárním proudění, ve druhém o postlineárním proudění.

K postlineárnímu proudění dochází, pokud setrvačné síly v proudící tekutině začnou převažovat nad silami vazkými a v prostoru pórů nastane významné turbulentní proudění. Indikátorem je kritická hodnota Reynoldsova čísla R_e. V hydromechanice pórového prostředí definujeme Reynoldsovo číslo vztahem :

${\mbox{Re}}={\frac {v_{s}d}{\nu }}$

kde

• ν – velikost toku
• d – charakteristický rozměr zrna za něž s ohledem na zabezpečenost dosazujeme d₁₀ nebo d₂₀.

Hálek a Švec (1973) uvádějí, že v porézním prostředí R_e splňuje nerovnost 1 < R_e < 10 Položíme-li R_e = 1, dosadíme-li dále za velikost toku hodnotu v_s = 2,5×10⁻³ m/s a za kinematickou viskozitu vody hodnotu pro běžné teploty podzemní vody ν =1,31×10⁻⁶ m²/s, dostaneme jako podmínku platnosti Darcyho zákona nerovnost d ≤ 5,24×10⁻⁴ m. Tato hodnota odpovídá hrubému písku. Z toho je vidět, že je velmi málo pravděpodobné překročení meze platnosti Darcyho zákona pro běžné přírodní materiály.
Prelineární proudění bývá pozorováno u materiálů charakterizovaných velmi malými zrny a póry a velkým specifickým povrchem (spraše, jíly). Příčinou prelineární odchylky od Darcyho zákona je skutečnost, že v těchto materiálech je prakticky veškerá voda v pórech v kontaktu s pevnou fází, má formu hygroskopické nebo obalové vody a je tudíž víceméně nepohyblivá. V takovém případě existuje určitá prahová kladná hodnota velikosti gradientu tlakové výšky, při jejímž překročení teprve dochází k pohybu vody.

Darcyho zákon se všeobecně přijímá jako zákon určující pohyb podzemní vody, platí však v zásadě pouze pro laminární proudění v určitém rozsahu rychlostí.

Používá se především v hydrogeologii nebo stavebnictví při projektování způsobů odvodňování stavebních jam apod.

Podstatné je, že množství pronikající kapaliny je přímo úměrné tlakovému gradientu (h_a − h_b) a nepřímo úměrné protékané vzdálenosti. Velikost konstanty k se určuje pomocí čerpacích nebo stoupacích zkoušek případně laboratorně na neporušených vzorcích horninového materiálu.

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Darcyho zákon na Wikimedia Commons