Centrum grupy

Centrum grupy je pojem užívaný v abstraktní algebře. Jde o podgrupu, jejíž každý člen komutuje s libovolným členem grupy. To odpovídá prvkům grupy, které mají v působení na sobě pomocí vnitřních automorfismů jednoprvkovou orbitu.

Definice

Centrem grupy ${\mathcal {G}}=(G,\odot ,^{-1},e)$ myslíme množinu $\{h\in G|\forall g\in G:g\odot h=h\odot g\}.$ Tedy množinu všech prvků z $G$ , které s každým prvkem z $G$ vyhovují komutativnímu zákonu. Ve zbytku článku jej budeme značit $Z(G)$ .

Lemma

Nechť ${\mathcal {G}}=(G,\odot ,^{-1},e)$ je grupa. Pak $Z(G)\trianglelefteq G$ (centrum grupy G je její normální podgrupa).

Důkaz

Rozmyslete si, že $Z(G)$ je uzavřené na $\odot$ (tj. pokud $h,g\in Z(G)$ , pak i $h\odot g\in Z(G)$ ) a $e\in Z(G)$ (připomeňme, že prvek $e$ jednotkový prvek grupy $G$ , pokud $\forall g\in G:g\odot e=e\odot g=g$ ).

Pokud je $g\in Z(G)$ , pak $g^{-1}\odot h=(h^{-1}\odot g)^{-1}=(g\odot h^{-1})^{-1}=h\odot g^{-1}$ . Tím jsme ukázali, že $g^{-1}\in Z(G)$ .

Zatím jsme dokázali, že $Z(G)$ je grupa, víme, že se skládá jen z prvků $G$ , takže je to podgrupa $G.$ Pro dokončení důkazu ještě potřebujeme, aby byla normální.

Vezměme si libovolné $g\in Z(G)$ a jakékoli $h\in G.$ Pak $h\odot g\odot h^{-1}=h\odot h^{-1}\odot g=e\odot g=g$ . Tedy $h\odot g\odot h^{-1}\in Z(G)$ a proto je $Z(G)$ normální podgrupa $G.$

Poznámka

Nosič $G$ každé grupy ${\mathcal {G}}=(G,\odot ,^{-1},e)$ může být zapsán takto: $G=Z(G)\cup ^{disj.}\bigcup _{h\in I}^{disj.}O_{h}$ , kde $O_{h}$ je orbita prvku $h\in G$ vzhledem k vnitřnímu automorfismu a $I$ je množina representantů alespoň dvouprvkových orbit grupy $G$ .

Důsledek

Je-li ${\mathcal {G}}=(G,\odot ,^{-1},e)$ konečná grupa, pak $|G|=|Z(G)|+\sum _{h\in I}[G:C_{h}]$ , kde $I$ je množina representantů alespoň dvouprvkových orbit grupy $G$ a $[G:C_{h}]$ je index stabilisátoru prvku $h$ .

Další Důsledek

Nechť ${\mathcal {G}}=(G,\odot ,^{-1},e)$ je grupa řádu $|G|=p^{n}$ , kde $p$ je prvočíslo a $0<n\in \mathbb {N}$ . Pak $|Z(G)|>1$ .

Věta

Ať ${\mathcal {G}}$ je grupa řádu $p^{2}$ , kde $p$ je prvočíslo. Pak ${\mathcal {G}}$ je komutativní a buď ${\mathcal {G}}\backsimeq \mathbb {Z} _{p^{2}}$ nebo ${\mathcal {G}}\backsimeq \mathbb {Z} _{p}\times \mathbb {Z} _{p}$

Důkaz

Využívá pojmu centrum grupy a proto sem byla tato věta zařazena (jako pozvánka ke studiu algebry). Jinak je delší a zvídavý čtenář si jej může vyhledat v literatuře uvedené na konci článku.

Související články

Literatura

L.Procházka a kolektiv: Algebra, Academia, Praha 1990

Externí odkazy

Skripta prof.Trlifaje z MFF UK (formát pdf)