Cardanovy vzorce jsou matematické vzorce, které se využívají k nalezení kořenů kubických rovnic. Jsou pojmenovány po Girolamu Cardanovi.
Řešení je možné nalézt díky dvěma italským matematikům Scipionemu del Ferrovi a Niccolò Tartagliovi, žákům Gerolama Cardana.
Rovnici nejprve převedeme na normovaný tvar (vydělením vedoucím koeficientem)
![{\displaystyle x^{3}+ax^{2}+bx+c=0.\qquad (1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e63fc06d2e15da760b50d1faec9e34ad273b0f18)
Substitucí (posunutím proměnné)
odstraníme kvadratický člen, dostaneme rovnici
![{\displaystyle t^{3}+pt+q=0,\quad {\mbox{kde}}\quad p=b-{\frac {a^{2}}{3}}\quad {\mbox{a}}\quad q=c+{\frac {2a^{3}-9ab}{27}}.\qquad (2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f61d05a1d557b4a21820db5468d4f28860ac55a)
Tuto rovnici můžeme řešit díky Thomasi Harriotovi (1560–1621) substitucí
a vynásobením
, po snadných úpravách dostaneme
, kterou jednoduše vyřešíme převedením na kvadratickou rovnici substitucí
.
Dále popíšeme originální Cardanovu metodu, která stále dominuje v dnešních učebnicích a je v podstatě stejná.
Předpokládejme, že lze nalézt dvě neznámé u a v splňující
![{\displaystyle t=u+v}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6cab55051537427d67893e108a4f322a84b540e)
Tento výraz dosadíme do původní rovnice a po roznásobení dostaneme
(3)
Genialita Cardanova řešení spočívá v zavedení podmínky
.
To je možné, protože jsme zavedli dvě neznámé u a v spojené jen podmínkou u + v = t. Substitucí tohoto do první rovnice v (3) dostaneme
![{\displaystyle -u^{3}+{\frac {p^{3}}{27u^{3}}}=q.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffac9ca51ea47c97a4035122c94587a77d17ce0a)
Přesuneme všechno na q stranu, vynásobíme rovnost u3 a dostaneme
![{\displaystyle u^{6}+qu^{3}-p^{3}/27=0\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a4e12b8968cf798b636c6e227a723fcab71cf31)
Toto je kvadratická rovnice pro u3. Pokud budeme řešit tuto rovnici, zjistíme, že
![{\displaystyle u^{3}=-{q \over 2}\pm {\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d453e449786c506b5e49a510a55e5fb0e171dd2a)
![{\displaystyle u={\sqrt[{3}]{-{q \over 2}\pm {\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}.\quad (4)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70fa93abcc9c701acbf254c4436e15ba94aa495b)
Protože t = v + u, t = x + a/3, a v = −p/3u, dostaneme
![{\displaystyle x=-{\frac {p}{3u}}+u-{a \over 3}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/571d3b28cfd6772bc0a99f62386841447a2ea7e2)
Všimněte si, že máme šest možností počítání s u (4), protože existují dvě řešení, díky druhé odmocnině
(
), a tři komplexní řešení třetí odmocniny – hlavní odmocnina a hlavní odmocnina vynásobená
. Nicméně znaménko druhé odmocniny (plus nebo minus) neovlivní výsledné t (zřejmě −p/3u = v), ačkoli musíme být opatrní ve dvou zvláštních případech, abychom se vyhnuli dělení nulou. Za prvé, pokud p = 0, pak u = 0 a
.
Za druhé, pokud p = q = 0, pak dostáváme trojnásobný reálný kořen t = 0. Taky pokud q = 0, pak
a
, takže třetí odmocniny jsou t = u + v = 0,
a
, kde
.
Pro kubickou rovnici
![{\displaystyle x^{3}+ax^{2}+bx+c=0\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d40fe1c2f48f265c9b62b62c3860b964fbded1ee)
řešení pro neznámou x dostaneme jako
![{\displaystyle x=-{\frac {p}{3u}}+u-{a \over 3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67c2927327eb1bdbf46bc48528184055f7edea2b)
kde
![{\displaystyle p=b-{\frac {a^{2}}{3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe0adf528cb53849fb1715dfedd0d93c54ccc55a)
![{\displaystyle q=c+{\frac {2a^{3}-9ab}{27}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f5a3ecd0409cbe5a62f2da01b2e6875e97a20dc)
![{\displaystyle u={\sqrt[{3}]{-{q \over 2}\pm {\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b565cc24871c0f41a1544d42234a250dd9ea7da1)
Alternativní metoda získání stejných výsledků je následující.
Víme, že
nebo
.
Ale protože u a v musí splňovat
a
, můžeme dokázat, že pokud
, pak
.
Vypsáním třetích odmocnin dostaneme
Nezapomeňte, že díky
dostaneme jenom tři možné hodnoty t, protože jsou možné jen tři kombinace u a v, pokud
, takže musí platit –
a x dostaneme jako
Všimněte si, že dosud uvedené metody použijeme, pokud p a q jsou komplexní. V případě, že p a q jsou obě reálná, může být elegantní následující řešení:
Označme tzv. diskriminant rovnice
.
Potom platí:
- Pokud D je kladné, pak dostaneme jeden reálný a dva imaginární sdružené kořeny.
- Pokud D je záporné, pak dostaneme tři reálné kořeny (tzv. casus irreducibilis).
- Pokud D = 0, pak existuje jeden trojnásobný reálný kořen anebo dva reálné kořeny (dvojnásobný a jednoduchý).
V tomto článku byl použit překlad textu z článku Cubic equation na anglické Wikipedii.