Binomickou rovnicí nazýváme rovnici ve tvaru
s komplexní neznámou x, číslo a je také komplexní číslo. Exponent neznámé x je přirozené číslo. Jde o typ rovnic, které se řeší na Gaussově rovině komplexních čísel, tedy i řešením jsou komplexní čísla.
Řešení binomické rovnice lze najít zkoumáním goniometrického tvaru komplexního čísla. Mějme rovnici v základním tvaru, přičemž obě strany lze přepsat jako komplexní čísla v goniometrické tvaru
Úhel
komplexní číslo
s kladnou osou x. Odtud lze porovnáváním stran odvodit řešení. Porovnáním absolutních hodnot je absolutní hodnota neznámé ![{\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
Porovnáním úhlů a odvozením řešení je
V tomto kroku je zapotřebí rozebrat diskusi vzhledem k úhlu
. Pokud je číslo
kladné reálné, poté uvažujeme úhel
. Naopak, když je
reálné záporné, uvažujeme úhel
. Pokud uvažujeme, že
má svoji reálnou i imaginární složku, tedy je komplexní, úhel se nedá obecně vyjádřit. Po této diskusi lze psát řešení:
Binomická rovnice má celkem
řešení. Při jejich hledání se za koeficient
dosazují postupně hodnoty množiny
. Tato řešení vytvoří v komplexní rovině jakési vrcholy pravidelného
-úhelníka. (Vrcholy takovného
-úhelníka pro rovnici
leží na jednotkové kružnici v Gaussově rovině a navíc všechny tyto
-úhelníky mají jeden z vrcholů v bodě
, čili jedno z řešení je vždy
.) Samotné řešení je
1. možnost ![{\displaystyle \omega =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2bb95bb72b12e6b52d1e87c670c3f423041bccc)
2. možnost ![{\displaystyle \omega =\pi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc7ee8e6e1ecf27c26d89041b303fe97cc40ff14)
3. možnost neurčitého
a komplexního ![{\displaystyle a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc)