Číselná posloupnost

Číselná posloupnost je zobrazení z množiny přirozených čísel do libovolné číselné množiny (například do množiny komplexních nebo reálných čísel).

Nekonečná číselná posloupnost je každá funkce, jejímž definičním oborem je množina N všech přirozených čísel.

Konečná posloupnost je každá funkce, jejíž definiční obor je konečná podmnožina všech přirozených čísel. Pokud je posloupnost konečná, často ji nazýváme uspořádanou n-ticí. Uspořádanou n-tici čísel můžeme chápat jako souřadnice bodu v n-rozměrném prostoru a často ji nazýváme aritmetický vektor.

V matematice se pracuje také s nečíselnými posloupnostmi – například posloupnostmi funkcí.

Zadání posloupnosti

Vzorcem pro n-tý člen

$\left[{h_{n}}\right]_{n=1}^{\infty }$ např. $h_{n}=-3+(-1)^{n}$ nekonečná posloupnost

$\left[{h_{n}}\right]_{n=1}^{5}$ např. $h_{n}=\left[{0,5}^{n}\right]_{n=1}^{5}$ konečná posloupnost

Rekurentně

a) je dán první člen a vzorec k výpočtu členu $a_{n+1}$ pro každé $n$ z množiny N $a_{1}=4,a_{n+1}=-2a_{n}$ pro všechna $n$ z množiny N

b) jsou dány první dva členy a vzorec k výpočtu $b_{n+2}$ na základě znalosti $b_{n}$ a $b_{n+1}$ $b_{1}=1$, $b_{2}=-1$, $b_{n+2}=2b_{n+1}-3b_{n}$ pro všechna $n$ z množiny N

Výčtem svých členů

$h_{n}=n_{1},n_{2},n_{3},\ldots ,n_{n}$ pro konečnou posloupnost

Vlastnosti posloupností

U číselných posloupností (obecněji u posloupností, jejichž oborem hodnot je uspořádaná množina) lze definovat následující vlastnosti:

• Posloupnost $\left[{a_{n}}\right]_{n=1}^{\infty }$ je rostoucí, právě když pro všechna $n$ z množiny N je $a_{n}<a_{n+1}$
• Posloupnost $\left[{a_{n}}\right]_{n=1}^{\infty }$ je nerostoucí, právě když pro všechna $n$ z množiny N je $a_{n}\geq a_{n+1}$
• Posloupnost $\left[{a_{n}}\right]_{n=1}^{\infty }$ je klesající, právě když pro všechna $n$ z množiny N je $a_{n}>a_{n+1}$
• Posloupnost $\left[{a_{n}}\right]_{n=1}^{\infty }$ je neklesající, právě když pro všechna $n$ z množiny N je $a_{n}\leq a_{n+1}$

Každá rostoucí posloupnost je neklesající, každá klesající posloupnost je nerostoucí. Je-li posloupnost nerostoucí nebo neklesající, říkáme, že je monotónní, posloupnost, která je rostoucí nebo klesající, je ryze monotónní.

• Posloupnost $\left[{a_{n}}\right]_{n=1}^{\infty }$ je shora omezená, právě když existuje reálné číslo $h$ takové,že pro všechna $n$ z množiny N je $a_{n}\leq h$.
• Posloupnost $\left[{a_{n}}\right]_{n=1}^{\infty }$ je zdola omezená, právě když existuje reálné číslo $d$ takové,že pro všechna $n$ z množiny N je $a_{n}\geq d$.
• Posloupnost se nazývá omezená, právě když je shora omezená a zároveň zdola omezená.

Konečná posloupnost délky $n$ je

• čistě bitonická, pokud existuje takové i, že posloupnost $(a_{1},a_{i})$ je rostoucí a $(a_{i},a_{n})$ je klesající
• bitonická, pokud ji lze získat cyklickým posunutím (rotací) z nějaké čistě bitonické posloupnosti

Jestliže se v libovolně malém $\varepsilon$-okolí bodu d, tzn. v intervalu $(d-\varepsilon ,d+\varepsilon )$, nachází nekonečně mnoho členů posloupnosti $(a_{n})$, pak bod d nazýváme hromadným bodem posloupnosti $(a_{n})$.

Limita

Související informace naleznete také v článku Limita posloupnosti.

Říkáme, že posloupnost

• konverguje (je to konvergentní posloupnost), má-li konečnou limitu (např. $1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},\ldots$ konverguje k 0),
• diverguje (je to divergentní posloupnost), má-li nekonečnou limitu (např. $1,2,3,\ldots$ diverguje k $\infty$), nebo nemá limitu, ale osciluje (např. $1,-1,1,-1,\ldots$).

Ze spojitosti uspořádání reálných čísel (věta o supremu a infimu) plyne, že monotónní reálná posloupnost musí mít limitu.

Vybraná posloupnost

Je-li $(a_{n})_{n=1}^{\infty }$ posloupnost (obecně reálných) čísel a $(k_{n})_{n=1}^{\infty }$ rostoucí posloupnost přirozených čísel, pak výraz $(a_{k_{n}})_{n=1}^{\infty }$ nazýváme posloupnost vybraná (též podposloupnost) z $a_{n}$ (jinými slovy, z $a_{n}$ vybereme některé členy, např. všechny liché).

Platí důležitá Bolzano-Weierstrassova věta: Z každé omezené posloupnosti reálných čísel lze vybrat konvergentní posloupnost. Tato věta je založena na axiomu výběru a proto v některých logických systémech (např. intuicionistická logika) neplatí.

Odkazy

Související články

• Posloupnost
• Řada (matematika)
• Aritmetická posloupnost
• Geometrická posloupnost
• Cauchyovská posloupnost
• Fareyova posloupnost
• Fibonacciho posloupnost
• Nekonečný součin