Polynom

Polynom (též mnohočlen) je výraz ve tvaru

p(x)=\sum _{i=0}^{n}{a_{i}x^{i}}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n}x^{n}

,

kde $a_{n}\neq 0$ . Čísla $a_{0},a_{1},...,a_{n}$ se nazývají koeficienty polynomu.

Stupeň polynomu

Stupněm polynomu p(x) rozumíme nejvyšší exponent proměnné x s nenulovým koeficientem, značíme jej st. p(x) nebo deg p(x). Stupeň kvadratického polynomu (např. p(x) = x² – 3x) je tedy 2, stupeň konstantního polynomu (např. p(x) = 7) je 0. Pro nulový polynom (p(x) = 0) se jeho stupeň definuje deg p(x) = $-\infty$ .

Příklady polynomů

$p(x)=8x+3$ je polynom 1. stupně (lineární polynom)
$p(x)=3x^{2}+2x-2$ je polynom 2. stupně (kvadratický polynom)
$p(x)=3x^{3}-8x$ je polynom 3. stupně (kubický polynom)

Operace s polynomy

Mějme polynom $n$ -tého stupně $f(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i},a_{n}\neq 0$ , a polynom $m$ -tého stupně $g(x)=\sum _{i=0}^{m}b_{i}x^{i},b_{m}\neq 0$ .

Oba polynomy se vzájemně rovnají, tzn. $f(x)=g(x)$ pro všechna $x$ pouze tehdy, je-li $n=m$ a pro každé $i=1,2,...,n$ platí $a_{i}=b_{i}$ .

Sečtením polynomů $f(x)$ a $g(x)$ získáme polynom

h(x)=f(x)+g(x)=\sum _{i=0}^{r}(a_{i}+b_{i})x^{i}

,

kde $r=max(n,m)$ . Stupeň výsledného polynomu je $\leq r$ . (Odpovídající koeficienty polynomů $f(x)$ a $g(x)$ mohou v součtu dávat 0.)

Součin polynomů $f(x),g(x)$ je polynom $f(x)\cdot g(x)$ , který získáme vzájemným vynásobením jednotlivých členů obou polynomů, přičemž stupeň nového polynomu je $s=n+m$ .

Platí tedy, že $\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}\cdot \sum _{i=0}^{m}b_{i}x^{i}=\sum _{i=0}^{n+m}(\sum _{j=0}^{i}a_{j}\cdot b_{i-j})x^{i}$ .

Je-li kde $n\geq m$ , pak existují právě dva polynomy $r(x),s(x)$ takové, že platí

f(x)=g(x)r(x)+s(x)

kde $s(x)$ má stupeň menší než $m$ nebo je nulovým polynomem. Pokud $s(x)$ je nulový polynom, pak říkáme, že polynom $f(x)$ je dělitelný polynomem $g(x)$ .

Polynomy tvoří vektorový prostor.

Hornerovo schéma

Polynom $p(x)=\sum _{i=0}^{n}{a_{i}x^{i}}$ lze zapsat ve tvaru

p(x)=(...((a_{n}x+a_{n-1})x+a_{n-2})x+...+a_{1})x+a_{0}

Tento zápis lze využít k výpočtu hodnoty polynomu $p(x)$ v bodě $x$ postupem, který bývá označován jako Hornerovo schéma. Zapíšeme-li

c_{n}=a_{n}

,

c_{n-1}=c_{n}x+a_{n-1}

,

c_{n-2}=c_{n-1}x+a_{n-2}

,

…

c_{0}=c_{1}x+a_{0}

,

pak poslední číslo $c_{0}$ představuje právě hodnotu polynomu $p(x)$ v bodě $x$ .

Příklady

Mějme polynomy $f(x)=x^{4}-x$ , $g(x)=x^{3}-2x+1$

f(x)+g(x)=x^{4}-x+x^{3}-2x+1=x^{4}+x^{3}-3x+1

f(x)\cdot g(x)=(x^{4}-x)(x^{3}-2x+1)=x^{7}-2x^{5}+x^{4}-x^{4}+2x^{2}-x=x^{7}-2x^{5}+2x^{2}-x

Pokusme se zjistit, zda je polynom $f(x)=x^{4}-3x^{2}+2x+1$ dělitelný polynomem $g(x)=x^{2}+1$ .

Vydělíme člen s nejvyšší mocninou polynomu $f(x)$ členem s nejvyšší mocninou polynomu $g(x)$ , tzn. ${\frac {x^{4}}{x^{2}}}=x^{2}$ . První člen polynomu $r(x)$ tedy bude $x^{2}$ . Tímto členem vynásobíme polynom $g(x)$ (dostaneme tedy $x^{4}+x^{2}$ ) a výsledek odečteme od polynomu $f(x)$ , čímž získáme nový polynom $f_{1}(x)=f(x)-(x^{4}+x^{2})=-4x^{2}+2x+1$ .

Nejvyšší člen polynomu $f_{1}(x)$ opět dělíme nejvyšším členem polynomu $g(x)$ , tzn. ${\frac {-4x^{2}}{x^{2}}}=-4$ , tzn. další člen polynomu $r(x)$ je $-4$ . Tímto členem opět násobíme polynom $g(x)$ , tzn. získáme $-4x^{2}-4$ , a výsledek odečteme od polynomu $f_{1}(x)$ . Získáme nový polynom $f_{2}(x)=2x+5$ .

Stupeň polynomu $f_{2}(x)$ je však nižší než stupeň polynomu $g(x)$ , proto již nelze pokračovat v dělení. Polynom $f_{2}(x)$ tedy odpovídá polynomu $s(x)$ .

Výsledek tedy je

f(x)=x^{4}-3x^{2}+2x+1=g(x)r(x)+s(x)=(x^{2}+1)(x^{2}-4)+(2x+5)

,

tzn. $r(x)=x^{2}-4$ a $s(x)=2x+5$ .

Vzhledem k tomu, že $s(x)\neq 0$ , není polynom $f(x)$ dělitelný polynomem $g(x)$ .

Kořen polynomu

Číslo $\alpha$ se nazývá kořen polynomu $p(x)$ , jestliže platí

p(\alpha )=0

Této skutečnosti, společně se základní větou algebry, se využívá při řešení algebraických rovnic.

Vlastnosti

Je-li $\alpha$ kořenem polynomu $p(x)$ stupně $n\geq 1$ , pak

p(x)=(x-\alpha )g(x)

,

kde $g(x)$ je polynom stupně $n-1$ .

Z předchozího plyne, že pokud je známo pouze $k$ kořenů polynomu $n$ -tého stupně, můžeme opakovaným použitím předchozího rozkladu rozložit libovolný polynom $p(x)$ na součin kořenových činitelů, které obsahují známé kořeny polynomu, a polynomu $g(x)$ stupně $n-k$ , tzn.

p(x)=(x-\alpha _{1})(x-\alpha _{2})\cdots (x-\alpha _{k})g(x)

,

kde $\alpha _{i}$ představují známé kořeny polynomu $p(x)$ . Pro nalezení zbývajících kořenů polynomu $p(x)$ stačí hledat pouze kořeny polynomu $g(x)$ , tzn. řešit rovnici $g(x)=0$ , neboť tyto kořeny jsou také zbývajícími kořeny polynomu $p(x)$ . Polynom $g(x)$ získáme z polynomu $p(x)$ jeho vydělením výrazem $(x-\alpha _{1})\cdots (x-\alpha _{k})$ .

Rozklad na kořenové činitele

Důsledkem předchozí vlastnosti je skutečnost, že každý polynom $p(x)$ stupně $n\geq 1$ lze zapsat ve tvaru

p(x)=a_{n}(x-\alpha _{1})(x-\alpha _{2})\cdots (x-\alpha _{n})

,

kde $\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}$ jsou kořeny polynomu $p(x)$ . Členy $(x-\alpha _{i})$ označujeme jako kořenové činitele. Ke každému polynomu existuje pouze jediný součin kořenových činitelů (pořadí jednotlivých kořenových činitelů v součinu není důležité).

Násobnost kořene

Jestliže se v rozkladu na kořenové činitele vyskytují někteří kořenoví činitelé vícekrát, můžeme psát

f(x)=a_{n}(x-\alpha _{1})^{k_{1}}\cdot (x-\alpha _{2})^{k_{2}}\cdot ...\cdot (x-\alpha _{n})^{k_{n}}

,

kde $k_{1}+k_{2}+...+k_{n}=n$ , přičemž $k_{i}$ jsou přirozená čísla. Čísla $k_{i}$ určují násobnost kořene $\alpha _{i}$ , tzn. kolikrát se kořen $\alpha _{i}$ vyskytuje v řešení polynomu.

Pokud má polynom stupně $n\geq 1$ s reálnými koeficienty $k$ -násobný kořen $\alpha =a+ib$ , má také $k$ -násobný kořen ${\overline {\alpha }}=a-ib$ . To má za následek, že každý takový polynom je dělitelný polynomem $(x-\alpha )(x-{\overline {\alpha }})=x^{2}-2xa+(a^{2}+b^{2})$ .

Podle předchozího tvrzení lze každý polynom $p(x)$ stupně $n\geq 1$ s reálnými koeficienty vyjádřit jako součin reálného čísla $a_{n}$ , reálných kořenových činitelů $x-\alpha _{i}$ a reálných trojčlenů $x^{2}+p_{i}x+q_{i}$ , splňujících podmínku $p_{i}^{2}-4q_{i}<0$ , tzn.

p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=a_{n}(x-\alpha _{1})(x-\alpha _{2})\cdots (x-\alpha _{k})(x^{2}+p_{1}x+q_{1})(x^{2}+p_{2}x+q_{2})\cdots (x^{2}+p_{m}x+q_{m})

,

kde $\alpha _{1},...,\alpha _{k},p_{1},...,p_{m},q_{1},...,q_{m}$ jsou reálná čísla, přičemž je splněna podmínka $k+2m=n$ .

Také v předchozím rozkladu se někteří kořenoví činitelé mohou vyskytovat vícenásobně, tzn.

p(x)=a_{n}(x-\alpha _{1})^{u_{1}}\cdots (x-\alpha _{s})^{u_{s}}(x^{2}+p_{1}x+q_{1})^{v_{1}}\cdots (x^{2}+p_{r}x+q_{r})^{v_{r}}

,

kde $u_{1}+u_{2}+...+u_{s}=k$ určuje počet reálných kořenů polynomu a $v_{1}+v_{2}+...+v_{r}=m$ je polovina z celkového počtu všech komplexních kořenů polynomu.

Z předchozího zápisu plyne, že každý polynom lichého stupně s reálnými koeficienty má alespoň jeden reálný kořen.

Pokud jsou $\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}$ kořeny polynomu $p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}$ , potom pro tyto kořeny platí následující vztahy

\alpha _{1}+\alpha _{2}+...+\alpha _{n}=-a_{n-1}

\alpha _{1}\alpha _{2}+\alpha _{1}\alpha _{3}+...+\alpha _{1}\alpha _{n}+\alpha _{2}\alpha _{3}+...+\alpha _{2}\alpha _{n}++\alpha _{n-1}\alpha _{n}=a_{n-2}

…

\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{n}=(-1)^{n}a_{0}

Derivace polynomu

Derivací polynomu $\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}$ rozumíme polynom tvaru $\sum _{i=1}^{n}a_{i}\cdot ix^{i-1}$ . Derivaci značíme $f$ '

(Pozn. Derivací nulového polynomu je nulový polynom.)

n-tou derivací rozumíme výraz definovaný pomocí indukce

$f\ ^{(1)}=f$ '

$f\ ^{(n)}=(f^{(n-1)})$ '

Souvislost derivace a násobnosti kořene

Číslo $\alpha$ je k-násobný kořen polynomu právě tehdy, když je kořenem polynomu a jeho derivací až do řádu $k-1$ (a není kořenem derivace řádu $k$ ).