Souvislá množina

Souvislá množina je v topologii množina, kterou nelze rozdělit na dvě disjunktní, neprázdné a otevřené podmnožiny.

Definice

Souvislá množina

Množina $\mathbf {X} \subset \mathbf {M}$ , $\mathbf {X} \neq \emptyset$ topologického či metrického prostoru $(\mathbf {M} ,\rho )$ se nazývá souvislá, pokud kdykoli $\mathbf {A} \subset \mathbf {M}$ , $\mathbf {B} \subset \mathbf {M}$ jsou množiny otevřené v M takové, že

$\mathbf {X} =\mathbf {A} \cup \mathbf {B}$ a
$\mathbf {A} \cap \mathbf {B} =\emptyset$ .

Pak buď $\mathbf {A} =\emptyset$ nebo $\mathbf {B} =\emptyset$

Ekvivalentní definice

Množina $\mathbf {X} \subset \mathbf {M}$ $\mathbf {X} \subset \mathbf {M}$ , $\mathbf {X} \neq \emptyset$ $\mathbf {X} \neq \emptyset$ topologického či metrického prostoru $(\mathbf {M} ,\rho )$ $(\mathbf {M} ,\rho )$ se nazývá souvislá, pokud kdykoli $\mathbf {A} \subset \mathbf {M}$ $\mathbf {A} \subset \mathbf {M}$ , $\mathbf {B} \subset \mathbf {M}$ $\mathbf {B} \subset \mathbf {M}$ jsou množiny uzavřené v M takové, že
- $\mathbf {X} =\mathbf {A} \cup \mathbf {B}$ a
- $\mathbf {A} \cap \mathbf {B} =\emptyset$ .

Pak buď $\mathbf {A} =\emptyset$ nebo $\mathbf {B} =\emptyset$

Je-li $\mathbf {f} :\mathbf {X} \rightarrow [0,1]$ spojité zobrazení a $\{0,1\}\subset \mathbf {f} [\mathbf {X} ]$ , pak $\mathbf {f} [\mathbf {X} ]=[0,1]$ .

Souvislý prostor

Topologický prostor je souvislý, je-li svou vlastní souvislou podmnožinou.

Topologický prostor $X$ je souvislý právě tehdy, když jediné podmnožiny v $X$ , které jsou současně otevřené i uzavřené, jsou $X$ a $\emptyset$ . V opačném případě bývá prostor $X$ označován jako nesouvislý.

Komponenta souvislosti

Komponenta souvislosti množiny $\mathbf {X} \subset \mathbf {M}$ je každá její maximální (vzhledem k $\subseteq$ ) souvislá podmnožina.

Související články

Pahýl

Tento článek je příliš stručný nebo postrádá důležité informace.
Pomozte Wikipedii tím, že jej vhodně rozšíříte. Nevkládejte však bez oprávnění cizí texty.