Racionální číslo

Racionální číslo je číslo, které lze vyjádřit jako zlomek, tedy podíl celého čísla a přirozeného čísla (ne nuly), zapsaný např. ve tvaru ${\frac {a}{b}}$ nebo a/b, kde b není nula. Název pochází z latinského ratio – poměr. Množina všech racionálních čísel se značí Q nebo $\mathbb {Q}$ , z latinského quotient – podíl. Reálné číslo, které není racionální, se nazývá iracionální číslo, jsou to například ${\sqrt {2}}$ nebo $\pi$ . Desetinný rozvoj racionálního čísla je periodický. V případě konečného rozvoje – desetinného čísla – tvoří periodu nuly.

U zlomku ${\frac {a}{b}}$ se číslo a označuje jako čitatel, číslo b jako jmenovatel (neboť určuje jméno zlomku: 1/2 je jedna polovina, 1/3 je jedna třetina, 1/4 je jedna čtvrtina atd.). Každé racionální číslo lze vyjádřit nekonečně mnoha zlomky, např. 1/2=2/4=3/6=... . Nejjednodušší je tvar, ve kterém a a b jsou nesoudělná čísla a b je kladné. Každé racionální číslo tento základní tvar má a je dán jednoznačně.

Vlastnosti

Množina racionálních čísel $\mathbb {Q}$ společně s operacemi sčítání a násobení tvoří komutativní těleso. Je to podílové těleso oboru celých čísel, tedy nejmenší těleso, které obsahuje všechna celá čísla.

Množina $\mathbb {Q}$ je spočetná; jelikož množina všech reálných čísel je nespočetná, jsou skoro všechna reálná čísla iracionální (ve smyslu Lebesgueovy míry). Racionální čísla však tvoří hustou podmnožinu množiny reálných čísel $\mathbb {R}$ – ke každému reálnému číslu lze libovolně blízko najít racionální číslo, to jest každé reálné číslo lze s libovolnou přesností nahradit racionálním číslem.

Počítání se zlomky

Zlomky lze sčítat a násobit:

{\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}}

{\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}

Dva zlomky $a \over b$ a $c \over d$ vyjadřují stejné racionální číslo tehdy a jen tehdy, když $ad=bc$ . Ke každému racionálnímu číslu existuje číslo opačné a ke každému nenulovému i převrácené: