Minimální a maximální prvek

Na obrázku jsou při dané množině A prvky e, h a j maximální z A a prvky a, c a e minimální. Maximální a minimální prvky nemusí být v množině jedinečné. Prvek e na obrázku je maximální i minimální zároveň.

Jako maximální prvek množiny se označuje takový prvek, který není menší než žádný jiný prvek této množiny. Formálně: prvek a ∈ A je maximálním prvkem množiny A (která je podmnožinou nějaké částečně uspořádané množiny), pokud platí:

pro libovolný prvek b ∈ A platí: pokud a ≤ b, pak a = b.

Obdobně je definován minimální prvek, který není větší než žádný jiný prvek množiny (a ve formální definici se tedy objevuje opačná podmínka: pokud b ≤ a, pak a = b).

Důležité je, že maximální prvek obecně nemusí být největším prvkem, tzn. zatímco není menší než libovolný jiný prvek, nemusí být větší než všechny ostatní prvky (totéž platí o minimálním prvku, který obecně nemusí být nejmenším prvkem). Maximálních prvků může být v jedné množině víc. Pokud však množina má největší (resp. nejmenší) prvek, je tento prvek jediným maximálním (resp. minimálním) prvkem.

Na úplně uspořádaných množinách je však každý maximální prvek zároveň největším (totéž pro minimální a nejmenší).

Příklad

Mějme množinu všech podmnožin (potenční množinu) množiny { 1, 2, 3 } částečně uspořádanou relací „být podmnožinou“. Pokud za množinu A vezmeme její podmnožinu obsahující jednoprvkové množiny, jsou všechny její prvky zároveň minimální i maximální (neboť žádný prvek není menší ani větší než žádný jiný), přičemž žádný není nejmenší ani největší.

Související články

• Nejmenší a největší prvek

Portály: Matematika