Kruh

Kruh

Kruh je rovinný geometrický útvar, omezený kružnicí. Kruh je určen svým středem S a poloměrem r: Je to množina všech bodů roviny, které mají od středu vzdálenost menší nebo rovnou poloměru.

Základní vzorce

Grafické vyjádření vzorce pro obsah kruhu. Pokud se kruh rozdělí na velké množství tenkých výsečí a střídavě se složí tyto výseče k sobě, lze si představit, že vznikne obdélník. Jedna strana obdélníku je poloměr $r$, druhá strana je polovina obvodu kruhu $\pi r$, tím pádem obsah obdélníku vychází $S=\pi r^{2}$.

Pro poloměr

Obvod o kruhu je určen vzorcem:

$o=2\pi r\,,$

kde π označuje číslo pí, a jeho plocha S vzorcem:

$S=\pi r^{2}\,.$

Pro průměr

Pokud bychom uvažovali poloměr (rádius) r jako polovinu průměru d, tedy dosadili: $r={\frac {d}{2}}$, tak by vzorce vypadaly následovně:

pro obvod o:

$o=2{\frac {\pi d}{2}}=\pi d$

a takto pro plochu S:

$S=\pi \left({\frac {d}{2}}\right)^{2}=\pi {\frac {d^{2}}{2^{2}}}=\pi {\frac {d^{2}}{4}}$

Odvození vzorce pro plochu pomocí integrace

Obecný středový tvar rovnice kružnice se středem v počátku soustavy souřadné:

$x^{2}+y^{2}=r^{2}$

Rovnice části kružnice v I. kvadrantu:

$y={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}$

Plocha kruhu se rovná čtyřnásobku plochy vymezené osami $x$ a $y$ a částí kružnice v I. kvadrantu. Pomocí integrálního počtu tedy:

$S=4\int _{0}^{r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,\mathrm {d} x$

Použijeme substituci, $x=r\sin(\phi )$, a tedy $\mathrm {d} x=r\cos(\phi )\,\mathrm {d} \phi$:

$S=4\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {r^{2}-r^{2}\sin ^{2}(\phi )}}\,r\cos(\phi )\,\mathrm {d} \phi$

Upravíme:

$S=4\int _{0}^{\pi /2}r^{2}\cos ^{2}(\phi )\,\mathrm {d} \phi =4r^{2}\int _{0}^{\pi /2}\cos ^{2}(\phi )\,\mathrm {d} \phi$

Integrujeme:

$S=4r^{2}\left[{\frac {\phi }{2}}+{\frac {\sin(2\phi )}{4}}\right]_{0}^{\pi /2}$

A po dosazení:

$S=4r^{2}\left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\sin(\pi )}{4}}\right)=\pi r^{2}$

Další pojmy

Část kruhu vymezená dvěma průvodiči je kruhová výseč, část kruhu omezená sečnou je kruhová úseč. Plocha vymezená dvěma soustřednými kružnicemi o nestejném poloměru je mezikruží.

Kvadratura kruhu

Podrobnější informace naleznete v článku kvadratura kruhu.

Kvadratura kruhu je konstrukční úloha: sestrojit k danému kruhu čtverec o stejném obsahu pouze pomocí pravítka a kružítka. Tato úloha obecně nemá řešení, přibližná řešení byla ovšem známa už ve starověku.

Naproti tomu Tarského problém kvadratury kruhu je úloha rozdělit daný kruh na konečně mnoho kousků a složit z těchto kousků čtverec o stejném obsahu. S použitím axiomu výběru je tato úloha řešitelná, ovšem nikoliv prakticky. Kousky jsou neměřitelné množiny, které nelze realizovat hmotou složenou z částic. Navíc řešení, které nalezl Laczkovich, vyžaduje $10^{50}$ kousků.

Třírozměrné tvary, jejichž průsečíky s některými rovinami dávají kruhy, jsou koule, sféroidy, válce a kužely.

Odkazy

Související články

• Kružnice
• Mezikruží
• Kvadratura kruhu
• Malfattiho kruhy

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu kruh na Wikimedia Commons
• Téma Kruh ve Wikicitátech
• Slovníkové heslo kruh ve Wikislovníku
• (anglicky) Vzorce pro kruh a kružnici na Geometry Atlas.
• Interaktivní applety Java Vlastnosti a jednoduché konstrukce kruhu a kružnice.

Autoritní data	NKC: ph156662 GND: 4406111-0

Portály: Matematika