Kanonická hybnost

Kanonická hybnost (někdy též zobecněná hybnost) je základní fyzikální veličina v rámci Hamiltonovy mechaniky a zobecňuje zde roli rychlosti. Kanonická hybnost společně se zobecněnými souřadnicemi parametrizuje fázový prostor. Kanonická hybnost se vyskytuje například v Hamiltonových rovnicích a v definici Poissonovy závorky.

Definice a význam

Kanonická hybnost $p_{j}$ je definována jako parciální derivace Lagrangeovy funkce $L$ vůči j-té zobecněné rychlosti ${\dot {q}}^{j}$.

$p_{j}\equiv {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}^{j}}}$

Přímo z definice vyplývá, že $p_{j}$ je kovektor. Kanonické hybnosti jsou navzájem nezávislé a nezávisí explicitně ani na žádných souřadnicích $q^{i}$. Tuto jejich nezávislost můžeme zapsat následovně.

${\frac {\partial p_{i}}{\partial p_{j}}}=\delta _{i}^{j},{\frac {\partial p_{j}}{\partial q^{i}}}=0,{\frac {\partial q^{i}}{\partial p_{j}}}=0\forall i,j$

Ve fyzikálním systému s n stupni volnosti je tak každý bod ve fázovém prostoru popsán právě 2n parametry a to $(q^{1},\dots ,q^{n},p_{1},\dots ,p_{n})$. Pár souřadnice a příslušné hybnosti $(q^{j},p_{j})$ nazýváme pro každý index $j$ dvojicí kanonicky sdružených proměnných.

Geometrická interpretace

V Lagrangeově mechanice se zobecněné rychlosti ${\dot {q}}^{j}$ popisují jako vektory ležící v tečném prostoru ke konfiguračnímu prostoru. Naproti tomu v Hamiltonově mechanice přebírají kanonické hybnosti roli zobecněných rychlostí. Kanonické hybnosti jsou kovektory a leží v takzvaném kotečném prostoru konfiguračního prostoru. Kotečný prostor je duální vektorový prostor k tečnému prostoru (oba prostory jsou tečné ke konfiguračnímu prostoru ve stejném bodě). Dualita mezi Lagrangeovou a Hamiltonovou mechanikou tak tkví v dualitě vektorů a kovektorů. Stejně jako tečné prostory společně tvoří tečný bandl, kotečné prostory tvoří tzv. kotečný bandl.

Vlastnosti

Mějme Lagrangeovu funkci, která nezávisí na zobecněné souřadnici $q^{j}$ (v konzervativním systému). Z pohybových rovnic pak vyplývá, že se v čase zachovává kanonická hybnost, kterou v tomto kontextu nazýváme zobecněná hybnost. Pohybová rovnice pro j-tou souřadnici $q^{j}$ se zde zjednoduší, protože druhý člen je díky nezávislosti $L$ na $q^{j}$ nulový.

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}^{j}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial q^{j}}}=0\implies {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}^{j}}}\right)=0\implies p_{j}\equiv {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}^{j}}}=C$

Například pro klasický fyzikální systém pouze s jedním volným hmotným bodem má Lagrangián tvar

$L={\frac {1}{2}}m\sum _{i}\left({\dot {q}}^{i}\right)^{2}$.

Pokud explicitně spočítáme parciální derivaci z $L$ uvedeného výše, zobecněná hybnost je pak rovna $m{\dot {q}}^{j}$, což odpovídá newtonovské hybnosti ve známém tvaru hmotnost krát rychlost. V tomto speciálním případě se klasická newtonovská hybnost rovná zobecněné hybnosti a zachovává se.

Za výše uvedených předpokladů se zobecněná hybnost zachovává, ale obecně nemusí být rovna newtonovské hybnosti. Například pro nabitou částici v magnetickém poli dostaneme výraz $p_{j}=m{\dot {q}}^{j}+eA^{j}$, kde $e$ je náboj částice a $A$ je vektorový potenciál elektromagnetického pole. Pokud pokud je zde vektorový potenciál nezávislý na souřadnici $q^{j}$, pak se zobecněná hybnost v čase zachovává, ale naproti tomu newtonovská hybnost nemusí.

Odkazy

Literatura

• PODOLSKÝ, Jiří. Teoretická mechanika ve třech knihách. 1. vyd. [s.l.]: Matfyzpress, 2024. 432 s. ISBN 978-80-7378-499-7. Kapitola 5 Hamiltonův formalismus, s. 96-106. 

Související články

• zobecněné souřadnice
• fázový prostor
• integrál pohybu
• Hamiltonova funkce

Externí odkazy

• [1] – hlavní stránka Ústavu teoretické fyziky MFF UK

Portály: Fyzika