Tento článek není dostatečně
ozdrojován , a může tedy obsahovat informace, které je třeba
ověřit .
Jste-li s popisovaným předmětem seznámeni, pomozte doložit uvedená tvrzení doplněním
referencí na
věrohodné zdroje .
Komentář: neuveden žádný zdroj
Tento článek je o identické funkci. O prvku množiny pojednává článek
neutrální prvek .
Identita , nebo také identické zobrazení , je matematické zobrazení , které přiřazuje prvku množiny ten samý prvek stejné množiny. Aplikací identity se tedy nic nezmění, výsledkem je opět vstupní hodnota. Značí se Id I
Identitou se také v jiném významu rozumí rovnice , která je splněna ve všech případech, tzn. její levá a pravá strana jsou identické, mají pouze jiný tvar. Na příklad
(
a
+
b
)
2
=
a
2
+
2
a
b
+
b
2
{\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}
Některé pokládají základy algebry jako na příklad
a
+
0
=
a
{\displaystyle a+0=a}
a
+
(
−
a
)
=
0
{\displaystyle a+(-a)=0}
Mezi nejčastější patří:
(
a
+
b
)
2
=
a
2
+
2
a
b
+
b
2
{\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}
(
a
−
b
)
2
=
a
2
−
2
a
b
+
b
2
{\displaystyle (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}}
(
a
+
b
)
3
=
a
3
+
3
a
2
b
+
3
a
b
2
+
b
3
{\displaystyle (a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}}
(
a
−
b
)
3
=
a
3
−
3
a
2
b
+
3
a
b
2
+
b
3
{\displaystyle (a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}}
a
2
+
b
2
=
(
a
+
b
i
)
(
a
−
b
i
)
{\displaystyle a^{2}+b^{2}=(a+bi)(a-bi)}
a
2
−
b
2
=
(
a
−
b
)
(
a
+
b
)
{\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)}
a
3
+
b
3
=
(
a
+
b
)
(
a
2
−
a
b
+
b
2
)
{\displaystyle a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})}
a
3
−
b
3
=
(
a
−
b
)
(
a
2
+
a
b
+
b
2
)
{\displaystyle a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})}
a
4
+
b
4
=
(
a
2
+
i
b
2
)
(
a
2
−
i
b
2
)
{\displaystyle a^{4}+b^{4}=(a^{2}+ib^{2})(a^{2}-ib^{2})}
a
4
−
b
4
=
(
a
−
b
)
(
a
+
b
)
(
a
2
+
b
2
)
{\displaystyle a^{4}-b^{4}=(a-b)(a+b)(a^{2}+b^{2})}
a
5
+
b
5
=
(
a
+
b
)
(
a
4
−
a
3
b
+
a
2
b
2
−
a
b
3
+
b
4
)
{\displaystyle a^{5}+b^{5}=(a+b)(a^{4}-a^{3}b+a^{2}b^{2}-ab^{3}+b^{4})}
a
5
−
b
5
=
(
a
−
b
)
(
a
4
+
a
3
b
+
a
2
b
2
+
a
b
3
+
b
4
)
{\displaystyle a^{5}-b^{5}=(a-b)(a^{4}+a^{3}b+a^{2}b^{2}+ab^{3}+b^{4})}
a
6
+
b
6
=
(
a
3
+
i
b
3
)
(
a
3
−
i
b
3
)
{\displaystyle a^{6}+b^{6}=(a^{3}+ib^{3})(a^{3}-ib^{3})}
a
6
−
b
6
=
(
a
−
b
)
(
a
2
+
a
b
+
b
2
)
(
a
+
b
)
(
a
2
−
a
b
+
b
2
)
{\displaystyle a^{6}-b^{6}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})}
Obecně
(
x
+
y
)
n
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
x
k
y
n
−
k
{\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}y^{n-k}}
a
n
−
b
n
=
(
a
−
b
)
(
a
n
−
1
+
a
n
−
2
b
+
a
n
−
3
b
2
+
⋅
⋅
⋅
+
a
2
b
n
−
3
+
a
b
n
−
2
+
b
n
−
1
)
{\displaystyle a^{n}-b^{n}=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}+\cdot \cdot \cdot +a^{2}b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1})}
a
n
+
b
n
=
(
a
+
b
)
(
a
n
−
1
−
a
n
−
2
b
+
a
n
−
3
b
2
−
⋅
⋅
⋅
+
a
2
b
n
−
3
−
a
b
n
−
2
+
b
n
−
1
)
{\displaystyle a^{n}+b^{n}=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}-\cdot \cdot \cdot +a^{2}b^{n-3}-ab^{n-2}+b^{n-1})}
lichá
n
{\displaystyle n}
a
n
+
b
n
=
(
a
n
2
+
i
b
n
2
)
(
a
n
2
−
i
b
n
2
)
{\displaystyle a^{n}+b^{n}=(a^{\frac {n}{2}}+ib^{\frac {n}{2}})(a^{\frac {n}{2}}-ib^{\frac {n}{2}})}
n
{\displaystyle n}
2
{\displaystyle 2}
Pro
n
{\displaystyle n}
2
{\displaystyle 2}
n
=
2
m
{\displaystyle n=2m}
m
{\displaystyle m}
p
{\displaystyle p}
m
{\displaystyle m}
m
p
=
2
q
{\displaystyle {\frac {m}{p}}=2q}
q
{\displaystyle q}
a
n
+
b
n
=
(
a
2
q
+
b
2
q
)
(
a
2
q
(
p
−
1
)
−
a
2
q
(
p
−
2
)
)
b
2
q
+
a
2
q
(
p
−
3
)
(
b
2
q
)
2
−
⋅
⋅
⋅
−
(
a
2
q
)
2
(
b
2
q
)
p
−
3
−
a
2
q
(
b
2
q
)
p
−
2
+
(
b
2
q
)
p
−
1
)
{\displaystyle a^{n}+b^{n}=(a^{2q}+b^{2q})(a^{2q(p-1)}-{\frac {a^{2q(p-2)})}{b^{2q}}}+{\frac {a^{2q(p-3)}}{(b^{2q})^{2}}}-\cdot \cdot \cdot -{\frac {(a^{2q})^{2}}{(b^{2q})^{p-3}}}-{\frac {a^{2q}}{(b^{2q})^{p-2}}}+{(b^{2q})^{p-1}})}
n
{\displaystyle n}
a
r
a
s
=
a
r
+
s
{\displaystyle a^{r}a^{s}=a^{r+s}}
a
r
a
s
=
a
r
−
s
{\displaystyle {\frac {a^{r}}{a^{s}}}=a^{r-s}}
a
≠
0
{\displaystyle a\neq 0}
(
a
r
)
s
=
a
r
s
{\displaystyle (a^{r})^{s}=a^{rs}}
a
r
b
r
=
(
a
b
)
r
{\displaystyle a^{r}b^{r}=(ab)^{r}}
a
r
s
=
a
r
s
{\displaystyle a^{\frac {r}{s}}={\sqrt[{s}]{a^{r}}}}
s
≠
0
{\displaystyle s\neq 0}
a
−
r
=
1
a
r
{\displaystyle a^{-r}={\frac {1}{a^{r}}}}
a
0
=
1
{\displaystyle a^{0}=1}
Identické zobrazení na vektorovém prostoru je lineární . Na konečnědimenzionálním vektorovém prostoru je dokonce kompaktní .
Máme-li grupu zobrazení s operací skládání, je právě identita její neutrální prvek .
Kupříkladu matice reprezentují lineární zobrazení na konečnědimenzionálních vektorových prostorech a násobení matic reprezentuje skládání těchto zobrazení. Proto v grupě matic s operací násobení je neutrální prvek identita (identické zobrazení), tedy jednotková matice .
Geometrická identita. Jako geometrické zobrazení představuje identita takové zobrazení, při němž obrazem každého bodu
A
{\displaystyle A}
geometrického útvaru
U
{\displaystyle U}
A
′
{\displaystyle A^{\prime }}
U
′
{\displaystyle U^{\prime }}
A
′
{\displaystyle A^{\prime }}
A
{\displaystyle A}
A
=
A
′
{\displaystyle A=A^{\prime }}
U
{\displaystyle U}
U
′
{\displaystyle U^{\prime }}
U
=
U
′
{\displaystyle U=U^{\prime }}
Slovníkové heslo identita ve Wikislovníku 
![{\displaystyle a^{\frac {r}{s}}={\sqrt[{s}]{a^{r}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/151db5c0724ac9b36ccf5bbbd763a3ede85bf1a4)
Slovníkové heslo identita ve Wikislovníku