Geometrická posloupnost

Geometrická posloupnost je druh matematické posloupnosti, kde každý člen kromě prvního je stálým násobkem předchozího členu. Tento násobek se nazývá kvocient geometrické posloupnosti a pro posloupnosti s nenulovými členy je roven podílu libovolného členu kromě prvního a členu předchozího.

Geometrickou posloupnost s nezápornými členy lze chápat jako zúžení exponenciální funkce na obor přirozených čísel (připouštíme však i základ 0 a 1) a proto i pro svou jednoduchost je jedním z nejdůležitějších typů posloupností.

Vyjádření členů posloupnosti

Pro vyjádření n-tého členu geometrické posloupnosti s kvocientem q lze použít různé vztahy.

Rekurentní zadání

Geometrické posloupnosti lze definovat jako řešení lineární rekurentní rovnice 1. řádu s konstantními koeficienty:

a_{n+1}=a_{n}\cdot q

Řešením lze zjistit vzorec pro libovolný člen:

a_{2}=a_{1}\cdot q,\quad a_{3}=a_{1}\cdot q^{2},\quad \ldots ,\quad a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}

První člen a₁ má libovolnou hodnotu (je to tzv. počáteční podmínka), obecný vztah pro n-tý člen se dokáže snadno matematickou indukcí.

Zadání vzorcem pro n-tý člen

a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}

.

Příklad

Například je-li $a_{1}=2,q=3$ , pak několik prvních členů geometrické posloupnosti je: 2, 6, 18, 54, 162, 486 …

Pro $a_{1}=1,q=-1$ se jedná o posloupnost 1, -1, 1, -1, ...

Kvocient

Pro kvocient q a libovolné členy posloupnosti $a_{r}$ a $a_{s}$ platí:

{\frac {a_{r}}{a_{s}}}=q^{r-s}

Součet prvních n členů

Součet prvních n členů geometrické posloupnosti se vypočítá (pro q≠1):

s_{n}=a_{1}\cdot {\frac {q^{n}-1}{q-1}}=a_{1}\cdot {\frac {1-q^{n}}{1-q}}

a pro q=1 samozřejmě (jedná se pak o konstantní aritmetickou posloupnost):

s_{n}=n\cdot a_{1}

Tento zvláštní případ lze také dostat z předchozího vzorce limitním přechodem pro $q\to 1$ .

Vztahy platí v libovolném komutativním tělese, např. komplexních čísel.

Příklad

Součet prvních pěti členů posloupnosti z předchozího příkladu ( $a_{1}=2,q=3$ ) je:

s_{5}=2\cdot {\frac {3^{5}-1}{3-1}}=242

Odvození vzorce

Součet prvních n členů geometrické posloupnosti lze vyjádřit jako $s_{n}=a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}=a_{1}+a_{1}q+a_{1}q^{2}+\ldots +a_{1}q^{n-1}$ .

Vynásobením obou stran rovnice kvocientem q vznikne $s_{n}q=a_{1}q+a_{1}q^{2}+a_{1}q^{3}+\ldots +a_{1}q^{n}$ .

Odečtením první rovnice od druhé vyjde $s_{n}q-s_{n}=a_{1}q^{n}-a_{1}$ .

Takže (je-li q různé od 1) platí

$s_{n}=a_{1}{\frac {q^{n}-1}{q-1}}$ .

Pro q = 1 je součet prvních n členů triviální, jedná se o (konstantní) aritmetickou posloupnost (lze dostat i limitním přechodem),

$s_{n}=na_{1}.$

Jiný způsob odvození vzorce

Součet prvních $n$ členů posloupnosti lze spočítat „hrubou silou“ následovně:

s_{n}=a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}

,

kde členy $a_{2}\ldots a_{n}$ lze vyjádřit pomocí $a_{1}$ :

s_{n}=a_{1}+a_{1}q+\ldots +a_{1}q^{n-1}

,

přičemž ze součtu lze vytknout $a_{1}$ :

s_{n}=a_{1}\left(1+q+\ldots +q^{n-1}\right)

.

Obdobně lze získat i vztah pro součet prvních $n+1$ členů (ve skutečnosti nás $s_{n+1}$ příliš nezajímá, ale bude se hodit pro další odvozování):

s_{n+1}=a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n+1}=a_{1}\left(1+q+\ldots +q^{n}\right)

Tento vzorec se ovšem velmi podobá předchozímu vztahu pro $s_{n}$ . V podstatě lze $s_{n+1}$ vypočítat z $s_{n}$ dvěma způsoby:

Součet $s_{n+1}$ má o jeden (poslední) člen více než $s_{n}$ :

s_{n+1}=s_{n}+a_{1}q^{n}\,

Závorka $\left(1+q+\ldots +q^{n}\right)$ v $s_{n+1}$ je vlastně závorka $\left(1+q+\ldots +q^{n-1}\right)$ z $s_{n}$ vynásobená $q$ a ještě k ní je zleva přičtena 1:

\left(1+q+\ldots +q^{n}\right)=1+q\left(1+q+\ldots +q^{n-1}\right)

Po vynásobení

a_{1}

lze tuto skutečnost aplikovat na

s_{n+1}

a

s_{n}

:

a_{1}\cdot \left(1+q+\ldots +q^{n}\right)=a_{1}\cdot 1+a_{1}\cdot q\left(1+q+\ldots +q^{n-1}\right)

s_{n+1}=a_{1}+qs_{n}\,

Získali jsme tak dvě různé možnosti, jak vypočítat $s_{n+1}$ . Protože tyto dvě možnosti musí dávat stejný výsledek, lze mezi ně položit rovnítko:

s_{n}+a_{1}q^{n}=a_{1}+qs_{n}\,

Z takto sestavené rovnice lze po několika úpravách získat hledaný vzorec pro výpočet $s_{n}$ (v tomto okamžiku už pro nás vlastní součet $s_{n+1}$ přestává být zajímavý):

s_{n}-qs_{n}=a_{1}-a_{1}q^{n}\,

s_{n}\left(1-q\right)=a_{1}\left(1-q^{n}\right)\,

s_{n}=a_{1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}

Geometrická řada

Součet členů geometrické posloupnosti je označován jako geometrická řada.

Součet geometrické řady je dán jako limita posloupnosti n-tých částečných součtů. Platí tedy

\lim _{n\to \infty }s_{n}=\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{1}}{1-q}}-\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{1}\cdot q^{n}}{1-q}}\rightarrow \lim _{n\to \infty }s_{n}=\left\{{\begin{matrix}{\frac {a_{1}}{1-q}}&{\mbox{ pro }}\left|q\right|<1\\\pm \infty ,&{\mbox{ pro }}q\geq 1,\ a_{1}\neq 0\\{\mbox{nekonverguje (osciluje)}}&{\mbox{ pro }}q\leq -1\end{matrix}}\right.

Geometrická řada tedy konverguje, je-li absolutní hodnota kvocientu q menší než 1.

Vyjádření periodického čísla zlomkem pomocí geometrické řady

Příklad

Napište jako zlomek s celočíselným čitatelem i jmenovatelem: $0,{\overline {7}}$

Zapíšeme nejprve jako desetinný rozvoj:

$0,{\overline {7}}={\frac {7}{10}}+{\frac {7}{100}}+{\frac {7}{1000}}+$ ...

Pak $q={\frac {1}{10}}$ (|q| < 1) → konvergentní řada → můžeme vypočítat její součet pomocí vzorečku:

$s={\frac {a_{1}}{1-q}}$

kde $a_{1}$ = 1. člen posloupnosti, q = kvocient

$s={\frac {\frac {7}{10}}{1-{\frac {1}{10}}}}={\frac {7}{10-1}}={\frac {7}{9}}$

$0,{\overline {7}}={\frac {7}{9}}$

Souvislost s geometrickým průměrem

Pro geometrickou posloupnost komplexních čísel platí, že absolutní hodnota každého členu kromě prvního je geometrickým průměrem absolutních hodnot sousedních členů:

$\ |a_{n}|={\sqrt {|a_{n-1}|\cdot |a_{n+1}|}}$

Obráceně pokud tato vlastnost platí pro všechny členy posloupnosti (s nezápornými členy) počínaje druhým, tak se jedná o geometrickou posloupnost. Dokáže se např. převedením na aritmetickou posloupnost (logaritmováním).

Souvislost s aritmetickou posloupností

Je-li posloupnost $g_{n}$ geometrická s kladnými členy, tak je posloupnost $\log _{b}g_{n}$ aritmetická (pro libovolný základ b>0, b≠1).

Je-li posloupnost $a_{n}$ aritmetická, tak je posloupnost $b^{a_{n}}$ geometrická (pro libovolný základ b≥0).

Související články