Konečné těleso

Konečné těleso (též Galoisovo těleso na počest Évarista Galoise, obvykle značeno $GF(p^{k})$) je v matematice, přesněji v abstraktní algebře, označení pro takové těleso, které má konečný počet prvků.

Vlastnosti

• Počet prvků konečného tělesa je roven $p^{k}$, kde $p$ je prvočíslo a $k$ je kladné přirozené číslo.
• Charakteristika tělesa $GF(p^{k})$ je rovna právě prvočíslu $p$.
• Konečná tělesa jsou komutativní (Wedderburnova věta).
• Konečná tělesa lze klasifikovat podle velikosti; platí totiž, že až na izomorfismus existuje vždy jen jediné konečné těleso o daném počtu prvků.
• Žádné konečné těleso není algebraicky uzavřené neboť označíme-li prvky konečného tělesa po řadě $a_{1},a_{2},\dots ,a_{k}$, můžeme zkonstruovat mnohočlen$(x-a_{1})(x-a_{2})\cdots (x-a_{k})+1$, který je zřejmě stupně alespoň 1 a přitom žádný z $a_{1},a_{2},\dots ,a_{k}$ není jeho kořenem.

Reprezentace

$GF(p)$ jsou celá čísla modulo dané prvočíslo $p$ neboli $Z_{p}$. Typická reprezentace Galoisova tělesa $GF(p^{k})$ jsou polynomy nad $Z_{p}$ modulo definiční polynom stupně $k$. Těleso tímto způsobem dostaneme právě když je definiční polynom ireducibilní.

Ne vždy je x primitivním prvkem tělesa (generátorem multiplikativní grupy). Například pro GF(3²) při definičním polynomu x²+1 generuje pouze polovinu prvků a jako generátor je potřeba vzít x+1. Při definičním polynomu x²+x-1 ale x stačí.

Využití

Konečná tělesa jsou důležitým nástrojem mimo jiné teorie čísel, algebraické geometrie a kryptografie.

Využití v kódování

V kódování jsou nejčastěji používána $GF(2^{2^{k}})$. V takovém případě je používán izomorfismus mezi číslem dle jeho $2^{k}$ bitového zápisu na polynomy nad bity tak, že bit řádu $\ell$ určuje koeficient u $x^{\ell }$. Pozor, ač jsou při různé volbě definičního polynomu odpovídající tělesa isomorfní, kódování dává různé výsledky v závislosti na volbě definičního polynomu. Při výpočtech nad $GF(2^{2^{k}})$ sčítání odpovídá bitový xor. Pro násobení je nejjednodušší vytvořit si tabulky logaritmů a exponentů primitivního prvku tělesa $\alpha =x$ resp. v číselném pohledu $\alpha =2$. Tabulky logaritmů vytváříme na základě tabulky exponentů. Tabulku exponentů vyplňujeme postupně. Je-li $y$ reprezentace $\alpha ^{\ell }$, pak reprezentaci $\alpha ^{\ell +1}$ dostaneme buď jako $2y$, pokud je $2y<2^{2^{k}}$ nebo pomocí xor s číslem odpovídajícím definičnímu polynomu (pokud $2y\geq 2^{2^{k}}$). Máme-li jak tabulky logaritmů, tak tabulky mocnin primitivního prvku, můžeme násobení počítat (pro nenulové činitele $a,b$) pomocí $\alpha ^{\log a+\log b}$. Je-li jakýkoli činitel nulový, je samozřejmě i součin nulový.

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu konečné těleso na Wikimedia Commons

Autoritní data	PSH: 7250 BNF: cb120618782 (data) LCCN: sh85048351 NLI: 987007531228605171

Portály: Matematika