Charakteristika (matematika)

Charakteristika okruhu $R$ (občas značena char(R)) je definována jako nejmenší počet sečtení jednotkového prvku (značeného obvykle 1) nutný k získání nulového prvku (obvykle značeného 0). Pokud takový součet nelze nalézt, pak řekneme, že charakteristika okruhu $R$ je 0 (někdy též $\infty$). Jedná se tedy o nejmenší přirozené číslo n splňující rovnost

$\underbrace {1+\cdots +1} _{\text{n}}=0$

případně 0, pokud žádné n splňující tuto rovnost neexistuje.

Charakteristiku okruhu lze také zavést jako exponent aditivní grupy okruhu $R$, tj. nejmenší pozitivní přirozené číslo n takové, že splňuje

$\underbrace {a+\cdots +a} _{\text{n}}=0$

pro všechny prvky $a\in R$ (pokud takové číslo existuje, jinak je charakteristika rovna 0). Pokud je okruh definován bez jednotkového prvku (některá literatura tuto definici používá), pak lze výše uvedeným způsobem definovat charakteristiku i v těchto okruzích. Obě uvedené definice charakteristiky jsou ekvivalentní, což plyne z distributivního zákona pro okruhy.

Příklady

Příkladem okruhu s charakteristikou 0 je obor celých čísel $\mathbb {Z}$ nebo těleso reálných čísel $\mathbb {R}$.

Příkladem okruhu s charakteristikou n je obor zbytkových tříd $\mathbb {Z} _{n}$.

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Characteristic (algebra) na anglické Wikipedii.

Externí odkazy

• Field Characteristic v encyklopedii MathWorld (anglicky)

Portály: Matematika