Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Grafy funkcí arkus sinus a arkus kosinus
Arkus sinus je jedna z cyklometrických funkcí, inverzní funkce k funkci sinus. Obvykle se značí
, v anglické literatuře se taktéž používá
či
. Její hodnotou je úhel v obloukové míře (radiány) z intervalu
, jehož sinus je
.
Funkce
je inverzní k funkci
; je definována pro
.[1]
Značení:
|
[2]
|
Definiční obor
|
|
Obor hodnot
|
|
Omezenost
|
Je omezená
|
Monotonie
|
Je ryze rostoucí je prostá
|
Symetrie
|
Je lichá, není sudá
|
Periodicita
|
Není periodická
|
Limity
|
tj. v okolí nuly je
|
Inverzní funkce
|
(sinus)
|
Derivace
|
|
Integrál
|
|
Taylorova řada
|
|
Významné hodnoty
|
|
![{\displaystyle {\begin{array}{lcll}\arcsin x+\arccos x&=&{\frac {\pi }{2}}\\\arcsin x+\arcsin(-x)&=&0\\\arcsin x+\arcsin y&=&\left\{{\begin{array}{rl}\arcsin \left(x\,{\sqrt {1-y^{2}}}+y\,{\sqrt {1-x^{2}}}\right),&xy\leq 0\;\;{\mbox{nebo}}\;\;x^{2}+y^{2}\leq 1\\\pi -\arcsin \left(x\,{\sqrt {1-y^{2}}}+y\,{\sqrt {1-x^{2}}}\right),&x>0,\,y>0,\,x^{2}+y^{2}>1\\-\pi -\arcsin \left(x\,{\sqrt {1-y^{2}}}+y\,{\sqrt {1-x^{2}}}\right),&x<0,\,y<0,\,x^{2}+y^{2}>1\end{array}}\right.\\\arcsin x-\arcsin y&=&\left\{{\begin{array}{rl}\arcsin \left(x\,{\sqrt {1-y^{2}}}-y\,{\sqrt {1-x^{2}}}\right),&xy\geq 0\;\;{\mbox{nebo}}\;\;x^{2}+y^{2}\leq 1\\\pi -\arcsin \left(x\,{\sqrt {1-y^{2}}}-y\,{\sqrt {1-x^{2}}}\right),&x>0,\,y<0,\,x^{2}+y^{2}>1\\-\pi -\arcsin \left(x\,{\sqrt {1-y^{2}}}-y\,{\sqrt {1-x^{2}}}\right),&x<0,\,y>0,\,x^{2}+y^{2}>1\end{array}}\right.\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54954c5c1e0409dbad4753e95e27d8e221decb69)
![{\displaystyle {\begin{array}{lcll}\arcsin(\sin x)&=&x,&-{\frac {\pi }{2}}\leq x\leq {\frac {\pi }{2}}\\\sin(\arcsin x)&=&x\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce896fe1c6780eda9f0b169f31448632869ec260)
![{\displaystyle \arcsin x=\int _{0}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{2}}}},\quad 0<x<1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d511e11a39302d88d10e1f0e8f31ce1215e30e21)
![{\displaystyle \arcsin x={\frac {x\,{\sqrt {1-x^{2}}}}{1-\displaystyle {\frac {1\cdot 2\cdot x^{2}}{3-\displaystyle {\frac {1\cdot 2\cdot x^{2}}{5-\displaystyle {\frac {3\cdot 4\cdot x^{2}}{7-\displaystyle {\frac {3\cdot 4\cdot x^{2}}{9-\displaystyle {\frac {5\cdot 6\cdot x^{2}}{11-\dots }}}}}}}}}}}},\quad |x|<1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21333d1e615feeb8d2a64aed7259a39acea67527)
Mějme goniometrickou rovnici:
[3]
![{\displaystyle {\begin{array}{rcl}2\sin x&=&{\sqrt {3}}\\\hline \sin x&=&{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\x&=&\arcsin {\frac {\sqrt {3}}{2}}\\\hline x&=&{\frac {\pi }{3}}\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6f58808e128d2923e3c25ad63aa0a4182714d78)
S ohledem na periodicitu funkce
jsou řešením původní rovnice také hodnoty:
![{\displaystyle {\begin{array}{rrrrrrrlr}\dots ,&{\color {OliveGreen}{\frac {-11\pi }{3}}},&{\color {OliveGreen}{\frac {-5\pi }{3}}},&\mathbf {\frac {\boldsymbol {\pi }}{3}} ,&{\color {OliveGreen}{\frac {7\pi }{3}}},&{\color {OliveGreen}{\frac {13\pi }{3}}},&\dots &\qquad {\mbox{tj.}}\quad \color {OliveGreen}{x_{k}=}&\color {OliveGreen}{{\frac {\pi }{3}}+2k\pi },\;k\in \mathbb {Z} \\\dots ,&{\color {BrickRed}{\frac {-10\pi }{3}}},&{\color {BrickRed}{\frac {-4\pi }{3}}},&{\color {BrickRed}{\frac {2\pi }{3}}},&{\color {BrickRed}{\frac {8\pi }{3}}},&{\color {BrickRed}{\frac {14\pi }{3}}},&\dots &\qquad {\mbox{tj.}}\quad \color {BrickRed}{x_{k}=}&\color {BrickRed}{{\frac {2\pi }{3}}+2k\pi },\;k\in \mathbb {Z} \end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a8afbf1dc7f0c490a54624522b0299006276f98)
- Vznikne překlopením grafu funkce
podle osy I. a III. kvadrantu.
- Bereme pouze interval kolem počátku, na kterém je funkce
prostá, tedy v tomto případě rostoucí.
- Interval
z definičního oboru sinu se stane oborem hodnot funkce
.
- Obdobně obor hodnot sinu se naopak stane definičním oborem arkus sinu.
Graf funkce arkus sinus.